Дано: две окружности, O1 и O2, пересекаются в точках B и C. Через точки пересечения окружностей проведены прямые: прямая AC является касательной к окружности O2, пересекая окружность O1 в точках A и C; прямая BD является касательной к окружности O1, пересекая окружность O2 в точках B и D.
Докажите, что отрезки AB и CD параллельны.
Ответ:
Для доказательства вспомним некоторые свойства окружности, а точнее, вписанных углов:
вписанный угол, опирающийся на хорду, равен половине центрального угла (угла между двумя радиусами), опирающегося на эту же хорду
угол между хордой и касательной равен половине центрального угла, опирающегося на эту хорду
следовательно, угол между хордой и касательной равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду
В нашем случае угол CBD между касательной BD и хордой ВС равен вписанному углу BAC, опирающемуся на эту хорду. Аналогично, угол DCE между хордой CD и касательной CE равен вписанному углу CBD, опирающемуся на эту хорду.
Итак, углы равны: BAC = CBD = DCE. Из равенства углов BAC = DCE незамедлительно следует параллельность прямых AB и CD, что и требовалось доказать.
