Задача Силвермана

Эта головоломка опубликована в книге Мартина Гарднера "Путешествие во времени", автор головоломки - Дэвид Л. Силверман

Извлеките из колоды все карты пиковой и червовой масти. Разложите пики в ряд в порядке возрастания значений от туза на левом фланге до короля на правом. Под каждой картой пиковой масти положите карту червовой масти, выбрав её так, чтобы сумма значений двух карт, верхней и нижней, была равна квадрату. Докажите, что задача допускает единственное решение.

Значения карт, как принято, берутся так: туз=1, валет=11, дама=12, король=13. Числовые - соответственно их номиналу. В колоде, таким образом, должны оказаться карты любого достоинства от 1 (туз) до 13 (король).