Листы, конверты, два стола

На двух столах (X и Y) лежат запечатанные конверты. Внутри каждого конверта находится один лист цветной (жёлтой или красной) бумаги, сложенный вчетверо. На столе X лежат 6 конвертов, в пяти из которых находятся жёлтые листы, а в одном – красный. А на столе Y лежат 4 конверта: в одном – жёлтый лист, в остальных трёх – красные.

Вскоре кто-то берёт с каждого стола по 3 конверта наугад (не зная, какого цвета листы внутри) и меняет их местами, т.е. те конверты, которые лежали на столе X, теперь лежат на столе Y, и наоборот. Причём их количество на каждом из столов не изменилось: 6 и 4 соответственно.

Какова вероятность того, что теперь на столе Y лежат 2 конверта с жёлтым листом и 2 – с красным?

Ответ:

Если внимательно разобраться в данной ситуации, то можно заметить, что в «тройке» конвертов, взятой наугад со стола X, могут оказаться либо три конверта с жёлтым листом, либо два конверта с жёлтым листом и один - с красным. Аналогично, со стола Y могут быть случайно выбраны либо три конверта с красным листом, либо два - с красным листом и один - с жёлтым. Перебрав все возможные варианты, можно прийти к выводу, что для того чтобы после указанного в условии случайного обмена конвертами, на столе Y оказались 2 конверта с жёлтым листом и 2 – с красным, необходимо, чтобы одновременно выполнялись 2 условия:

1) В «тройке», которая была выбрана наугад из 6 конвертов со стола X, был бы один конверт с красным листом, а в остальных двух лежали бы жёлтые листы.
Единственный другой возможный вариант, при котором все три конверта, взятые наугад со стола X, содержали бы жёлтые листы, нас не устраивает: очевидно, что в этом случае после обмена конвертами на столе Y окажутся как минимум 3 конверта с жёлтым листом, а не 2, независимо от того, какая «тройка» будет выбрана со стола Y.

2) В «тройке», которая была выбрана наугад из 4 конвертов со стола Y, был бы один конверт с жёлтым листом, а в остальных двух лежали бы красные листы.
Единственный другой возможный вариант, при котором все три конверта, взятые наугад со стола Y, содержали бы красные листы, нас опять-таки не устраивает: в таком случае после обмена конвертами на столе Y вновь окажутся как минимум 3 конверта с жёлтым листом, а не 2, независимо от того, какая «тройка» будет выбрана со стола X.
Ведь если все три конверта, выбранные со стола Y, содержат красные листы, это значит, что на этом столе лежит один конверт с жёлтым листом, и к нему добавится «тройка» конвертов со стола X, в которой либо 2, либо 3 конверта с жёлтым листом.

Следовательно, для того чтобы найти вероятность того, что после указанного случайного обмена конвертами на столе Y будут лежать по 2 конверта с жёлтым и красным листами, необходимо найти вероятности каждого из двух вышеуказанных событий и перемножить их значения.

Сначала найдём вероятность события (1).
Выпишем все возможные «тройки», выбранные случайно со стола X, обозначив «жёлтые» конверты как A1, A2, A3, A4, A5, а «красный» – BB:

(A1, A2, A3) (A1, A3, A5) (A2, A3, A4) (A2, A5, BB)
(A1, A2, A4) (A1, A3, BB) (A2, A3, A5) (A3, A4, A5)
(A1, A2, A5) (A1, A4, A5) (A2, A3, BB) (A3, A4, BB)
(A1, A2, BB) (A1, A4, BB) (A2, A4, A5) (A3, A5, BB)
(A1, A3, A4) (A1, A5, BB) (A2, A4, BB) (A4, A5, BB)

Всего получим 20 «троек», 10 из которых содержат BB (конверт с красным листом).
Значит, вероятность события (1) равна:
P(X)=10/20=0,5=50%
Аналогично найдём вероятность события (2).
Выпишем все возможные «тройки», выбранные случайно со стола Y, обозначив конверты с красным листом как B1, B2, B3, а конверт с жёлтым листом – AA:

(B1, B2, B3)
(B1, B2, AA)
(B1, B3, AA)
(B2, B3, AA)

Всего получим 4 «тройки», 3 из которых содержат AA (конверт с жёлтым листом).
Значит, вероятность события (2) равна:
P(Y)=3/4=0,75=75%
Значит, искомая вероятность равна:
P = 0,5*0,75 = 0,375 = 3/8 = 37,5%
Ответ: 37,5%