Хотите я Вас удивлю? Я могу не раздумывая долго, написать любое количество чисел с нечетным числом цифр, каждое из которых будет обладать следующим интересным свойством: если сложить все цифры написанного им числа, а затем сложить все цифры получившейся суммы и так повторять до тех пор, пока сумма цифр не изобразится одной цифрой, то эта цифра непременно будет той же, что и серединная цифра исходного числа.
Например: 564, 32122, 3874936, 71091238214 и так я могу продолжать очень долго.
А теперь дайте проверим наши примеры:
564, серединная цифра равна 6. Если 5+6+4=15, 1+5=6, то в итоге мы получаем серединную цифру 6.
32122, серединная цифра равна 1. 3+2+1+2+2=10, 1+0=1.
3874936, серединная цифра равна 4. 3+8+7+4+9+3+6=40, 4+0=4
Удалось ли вам догадаться, что я составляла числа таким образом, средней цифрой числа была произвольная цифра, кроме нуля, а сумма остальных цифр делилась на 9 без остатка. Теперь попробуем доказать, что любое число с такой особенностью цифр будет обладать свойством, указанным в условии. С этой целью вспомним прежде всего, что если некоторое число S делится на 9, то, складывая все его цифры, мы получим новое число (S1), которое тоже делится на 9. Далее, если число S1— неоднозначное, то, складывая его цифры, мы получим еще одно число (S2), которое тоже обязано делиться на 9, и т. д. Продолжая этот процесс, мы неизбежно придем к однозначному числу, делящемуся на 9. Но единственное однозначное число, которое делится на 9, это само 9.
И так проанализируем наш пример 3874936, серединная цифра которого равна 4. А теперь давайте сложим все цифры данного числа без серединной цифры S1=3+8+7+9+3+6=36, S2=3+6=9. Таким образом мы пришли к выражению 9+x, где х-серединное число. В нашем случае это 4. Придадим выражению 9+х такой вид: 10+(x—1). Сумма его цифр: 1+0+x—1=х. Проверяем 10+(4-1), 1+0+4-1=4.
